マクスウェル方程式_01
\documentclass[a4j]{jarticle}
\usepackage{amsmath}
\begin{document}
\noindent
（微分形による）マクスウェルの方程式は、以下の4つの連立偏微分方程式である。\\
\\
$\left\{\begin{array}{ll}{\nabla \cdot \boldsymbol{B}(t, \boldsymbol{x})} & {=0} \\ {\nabla \times \boldsymbol{E}(t, \boldsymbol{x})+\frac{\partial \boldsymbol{B}(t, \boldsymbol{x})}{\partial t}} & {=0} \\ {\nabla \cdot \boldsymbol{D}(t, \boldsymbol{x})} & {=\rho(t, \boldsymbol{x})} \\ {\nabla \times \boldsymbol{H}(t, \boldsymbol{x})-\frac{\partial \boldsymbol{D}(t, \boldsymbol{x})}{\partial t}} & {=\boldsymbol{j}(t, \boldsymbol{x})}\end{array}\right.$\\
\\
\\
ここで $\boldsymbol{E}$ は電場の強度、$\boldsymbol{B}$ は磁束密度、$\boldsymbol{D}$ は電束密度、$\boldsymbol{H}$ は磁場の強度を表す。\\
\\
また $\rho$ は電荷密度、$j$ は電流密度を表す。記号「$\nabla \cdot$」、「$\nabla \times$」はそれぞれベクトル場の発散 (div) と回転 (rot) である。\\
\\
（Wikipedia「マクスウェルの方程式」より引用）
\end{document}
ローレンツ変換_01
\documentclass[a4j]{jarticle}
\usepackage{amsmath}
\begin{document}
\noindent
ローレンツ変換は、ある慣性系 S における空間および時間座標（あるいは任意の 4元ベクトル）を、$x$-軸に沿った S に対する相対速度 $v$ で移動する別の慣性系 S′ へ変換する際に使用される群作用である。原点 (0, 0, 0, 0) を共有する、S における時空座標 ($t, x, y, z$) と S′ における時空座標 ($t^{\prime}, x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$) で記述される事象の座標系は、以下のローレンツ変換によって関連づけられる。\\
$\begin{aligned} t^{\prime} &=\gamma\left(t-\frac{v x}{c^{2}}\right) \\ x^{\prime} &=\gamma(x-v t) \\ y^{\prime} &=y \\ z^{\prime} &=z \end{aligned}$\\
\\
\noindent
上式で\\
\\
\indent
$\begin{aligned}\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}\end{aligned}$\\
\\
\noindent
\rm
は
\gt
ローレンツ因子
\rm
と呼ばれ、c は真空中の光速度を表す。 (2.99792458×10$^8$m/s)\\
\\
(Wikipedia「ローレンツ変換」より引用)
\end{document}
計量テンソル_01
一般相対性理論で出てくる計量テンソルをLatexで書きました。
\documentclass[a4j,12pt]{jarticle}
\begin{document}
ある座標系$x^{i}$が選ばれると、計量テンソルは行列形式で定義される。通常、${G}$として表記され、各成分は$g_{i j}$と表される。以下では、```
\documentclass[a4j,12pt]{jarticle}
\begin{document}
ある座標系$x^{i}$が選ばれると、計量テンソルは行列形式で定義される。通常、${G}$として表記され、各成分は$g_{i j}$と表される。以下では、添え字の和に関してアインシュタインの縮約記法を用いる。\\
点a から ${b}$ までの曲線の長さは、${t}$ をパラメータとして、\\
\\
$L=\int^{b} \sqrt{g_{i j} \frac{d x^{i}}{d t}}$
と定義される。2つの接ベクトル（tangent vector）$U=u^{i} \frac{\partial}{\partial x^{i}}$と\\
\\
$V=v^{i} \frac{\partial}{\partial x^{i}}$のなす角度 θ は、\\
\\
$\cos \theta=\frac{g_{i j} u^{i} v^{j}}{\sqrt{\left|g_{i j} u^{i} u^{j}\right|\left|g_{i j} v^{i} v^{j}\right|}}$\\
\\
で与えられる。\\
\\
（Wikipedia「計量テンソル」より引用）
\end{document}
局所座標系における特殊相対性理論の成立仮定
```
\documentclass[a4j,12pt]{jarticle}
\begin{document}
\gt
\noindent
局所座標系における特殊相対性理論の成立仮定\\
\rm
\noindent
\\
$d
s^{2}=g_{i j} d x^{i} d x^{j}$\\
\\
の平方で与えられる。この ds
を4次元空間の無限に近い点に属する線素 (line element)
の大きさと呼ぶが、これは、特殊相対性理論が成り立つような座標系においては、ミンコフスキーが指摘した4次元空間における不変量\\
\\
$d s^{2}=c^{2} d t^{2}-d x^{2}-d y^{2}-d z^{2}$\\
\\
一致するものでなくてはならない。すなわち、適当な座標変換により、計量テンソル$g_{i j}$は、\\
$g_{t t}=1, g_{x x}=g_{y y}=g_{z z}=-1$\\
\\
行列形式で描けば、\\
\\
$\left( \begin{array}{cccc}{1} & {0} & {0} & {0} \\ {0} & {-1} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {-1} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {-1}\end{array}\right)$\\
\\
$\sqrt{-g}=1$\\
という形で条件として求められる。\\
\end{document}
```
アインシュタイン 方程式_01
\documentclass[a4paper,10pt,fleqn]{jsarticle}
\setlength{\oddsidemargin}{-5mm}
\setlength{\topmargin}{-20mm}
\setlength{\textwidth}{180mm}
\pagestyle{empty}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{setspace}
\begin{document}
\noindent
\gt{アインシュタイン方程式とその特徴}\rm{}\\
\\
\noindent
一般相対性理論の基本方程式は、\\
\begin{spacing}{0.8}
$G_{\mu \nu}+\Lambda g_{\mu \nu}=\kappa T_{\mu \nu}$
\\
\end{spacing}
\noindent
と表され、アインシュタイン方程式と呼ばれる。ここで$G_{\mu v}$はアインシュタインテンソル、 $g_{\mu \nu}$は計量テンソル、Λは宇宙項、 $T_{\mu \nu}$はエネルギー・運動量テンソルである。非相対論的極限でニュートンの重力理論に収束することから、右辺の比例係数$\kappa$（アインシュタインの定数）は、\\
\begin{spacing}{0.8}
$\kappa=\frac{8 \pi G}{c^{4}}$\\
\end{spacing}
\noindent
となる。\\
\noindent
G は万有引力定数、 c は光速である。4次元空間を考えれば、テンソルは対称なので、アインシュタイン方程式は、10本の方程式からなる。\\
\\
\end{document}
アインシュタイン の記法_01
----
\documentclass[a4j]{jarticle}
%\displaystyleはΣのスタイルを整えるために使う。
%\noindentは文章冒頭のインデントを一時解除する。
%\raiseboxで文字を上げた。
\begin{document}
\noindent
４次元空間におけるベクトル$a^{\mu}$と$b_{\mu}(\mu=1,2,3,4)$の内積を記すときには、$a^{\mu} b_{\mu}$と記述される。これは、具体的に書けば\\
\\
\raisebox{2.2ex}{
$a^{\mu} b_{\mu}=a^{1} b_{1}+a^{2} b_{2}+a^{3} b_{3}+a^{4} b_{4}$}\\
を意味することになる。\\
\noindent
計量 (metric) が$g_{\mu v}\left(\mu_{t} v=0,1,2,3\right)$として表される曲がった時空においては、ベクトルの内積は\\
\\
$\displaystyle a^{\mu} b_{\mu}=g_{\mu \nu} a^{\mu} b^{\nu}=\sum_{\mu, \nu=0}^{3} g_{\mu \nu} a^{\mu} b^{\nu}$\\
\\
と記述される。最後の式は 4 次元の場合の縮約を、和の形で書いたものである。\\
\\
(Wikipedia「アインシュタインの縮約記法」より引用)
\end{document}
ラゲールの陪多項式_01
\documentclass[a4j]{jarticle}
\begin{document}
\fontsize{12pt}{13pt}\selectfont
ラゲールの陪多項式（ラゲールのばいたこうしき、associated Laguerre polynomials）とは、常微分方程式 \\
\fontsize{16pt}{13pt}\selectfont
$\left(x \frac{d^{k+2}}{d x^{k+2}}+(k+1-x) \frac{d^{k+1}}{d x^{k+1}}+(n-k) \frac{d^{k}}{d x^{k}}\right) L_{n}^{k}(x)=0$\\
\fontsize{12pt}{13pt}\selectfont
を満たす多項式 $L_{n}^{k}(x)$ のことを言う。ただし $k$ は $0 \leq k \leq n$を満たす整数である。
\end{document}
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（Wikipediaから引用）
